let x know y

「tell x y」は「XにYを言う／教える」とより直接的な情報伝達を意味します。一方「let x know y」は、「XにYを知らせるようにする」というニュアンスで、多くの場合、相手に（何か分かったら、何か必要なら）「教えてほしい」という依頼の形で使われます。フォーマル度は文脈によりますが、「let me know」の方が間接的で丁寧な響きを持つことがあります。

「inform x of y」は「XにYを通知する」という意味で、「let x know y」よりもフォーマルで公式な場面で使われます。ビジネス文書や公的な通知など、より堅い文脈で選ばれる表現です。情報伝達の義務や重要性が高い場合に適しています。

「notify x of y」も「XにYを通知する」という意味ですが、「inform」と同様にフォーマルです。特に、公式な通知、警報、または法的な義務を伴う通知など、緊急性や公式性が求められる場面で使われることが多いです。「let x know」に比べて、より硬く、義務感のあるニュアンスがあります。

「update x on y」は「XにYに関する最新情報を伝える」という意味で、進行中の事柄や変化があった情報について相手に知らせる際に使われます。単に「知らせる」だけでなく、「最新の状態に更新する」というニュアンスが加わります。ビジネスシーンで頻繁に使われます。