be tied up with

最も直接的な類義語ですが、『be busy with』は単に『忙しい』という事実を伝えるのに対し、『be tied up with』は『手が離せない』『身動きが取れないほど忙しい』という、より強い拘束感や、他からの介入が難しい状況を強調します。断る際に使うと、より説得力が増します。

『be engaged in』はフォーマルな響きがあり、特定の活動や仕事に集中して取り組んでいる状態を指します。継続的な従事や関与を示す場合に多く使われます。一方、『be tied up with』はもう少し口語的で、予定やタスクで身動きが取れない状況全般に使える表現です。

『have one's hands full with』は『手がいっぱい』『やることがたくさんある』という物理的・精神的な忙しさを強調します。『be tied up with』と非常に近いですが、『tied up』は外部からの拘束感（会議、契約など）をより強く示唆することもあります。どちらも多忙を伝える際に使えます。

『be preoccupied with』は精神的にあることに没頭していて、他のことを考えられない状態を指します。肉体的な忙しさよりも、精神的な集中や懸念を強調します。一方、『be tied up with』は物理的なタスクやスケジュールによる制約が中心です。