build a career

「make a career」は適切ではありません。「build」は「築く」という能動的な意味合いがあり、キャリアを自分で構築していく意味を表します。一方の「make」は「作る」という受動的な意味合いが強く、キャリアを形成していくというニュアンスが弱いです。

「establish a career」は適切な表現ですが、「build a career」の方がより一般的に使われています。「establish」は「確立する」という意味合いが強いのに対し、「build」は「築き上げる」という、より能動的で継続的なイメージがあります。